Треугольник. Первый признак равенства треугольников

Открываем учебник. Треугольники сравнивают без наложения — только по нескольким элементам.

А всю фигуру решает третья вершина — точка C. Вот она!

Мастерская режет детали по короткой записке.

Сторона AB — 6 сантиметров, угол A — 30 градусов, сторона BC — 4 сантиметра.

Основание AB уже на столе. Где поставить вершину C?

Первая привязь — луч из вершины A под углом 30 градусов.

Точка C скользит по лучу, а датчик меряет BC: 5, 3,4, 4,6 сантиметра.

Вторая привязь — расстояние от B. Замок щёлкнет, где BC станет ровно 4.

Кажется, все детали по такой записке обязаны совпасть.

Но точно ли замок щёлкнет только раз? Или записка чего-то не уточняет?

Сколько разных треугольников подойдёт под записку?

Запомни свой ответ — и проверь руками: веди точку по лучу!

У первой записки нашлось два треугольника: на расстояниях 2,6 и 7,8 сантиметра.

Кольцо радиуса 4 с центром в B режет луч дважды — угол стоял не между сторонами.

Во второй записке дана AC = 4, и угол 30 градусов — между сторонами 6 и 4.

Центр кольца переехал в A — прямо в начало луча. Встреча только одна!

А третья сторона BC — около 3,2 сантиметра — получилась сама.

В учебнике это теорема: равны две стороны и угол между ними — треугольники равны.

Это первый признак равенства треугольников.

В тетради без наложения пишем три пары: две стороны и угол между ними.

И закрываем вывод обязательной ссылкой — по первому признаку.

Дальше — как решать задачи по шагам!

Задача, как номер 94. Строим треугольник ABC по двум сторонам и углу.

AC — 5,1, AB — 3,4 сантиметра, угол A — 68 градусов.

Начертили AC. А если отложить 68 градусов от вершины C?

Мимо! У сторон AC и AB общая вершина — A. Угол лежит между ними.

Шаг первый: чертим сторону AC — 5,1 сантиметра.

Шаг второй: от общей вершины A откладываем луч под углом 68 градусов.

Шаг третий: на луче отмеряем 3,4 — точка B одна! Соединяем B и C.

Твоя очередь: даны MK, MP и угол 50 градусов. От какой вершины отложишь угол?

Поставь на паузу.

Вершина M — она общая!

Задача, как номер 92. Стороны треугольника MNP — 4,8, 6,5 и 7,2.

Назовём сторону против угла M и найдём периметр.

Где сторона против угла M? Часто называют MN или MP.

Мимо! В них есть буква M — они прилежат к углу M.

А против угла M лежит сторона без буквы M — это NP!

Периметр — сумма длин трёх сторон треугольника.

Сложим стороны: 4,8, 6,5 и 7,2 — всего 18,5.

Твоя очередь: в треугольнике DEF найди сторону против угла D и периметр!

Поставь на паузу.

Сторона EF, периметр — 15 сантиметров!

Задача, как номер 95. В треугольнике ABC сторона AC — 12 сантиметров.

AB вдвое больше AC, а BC на 7 сантиметров меньше AB. Найдём периметр.

Хочется вычесть 7 сразу из первой стороны: 12 − 7 = 5.

Мимо! BC меньше стороны AB, а не AC. Идём по цепочке!

Сначала AB: 12 · 2 = 24.

Теперь BC от AB: 24 − 7 = 17.

И периметр: 12 + 24 + 17 = 53!

Твоя очередь: AC = 10, AB втрое больше, BC на 5 меньше AB. Найди периметр!

Поставь на паузу.

Ответ — 65 сантиметров!

Задача, как номер 98. Отрезки MK и PT пересекаются в общей середине O.

Найдём углы M и P, если угол T — 33, а угол K — 58 градусов.

Точка O — общая середина, значит MO = KO и PO = TO.

А углы между ними равны как вертикальные!

Треугольники MOP и KOT равны по первому признаку.

Ловушка — написать наугад: угол M — 33 градуса.

Мимо! Смотри на порядок букв: первая буква M отвечает первой букве K.

Значит, угол M — 58 градусов, а угол P — 33!

Твоя очередь: угол K — 64 градуса, угол T — 41. Чему равен угол M?

Поставь на паузу.

Ответ — 64 градуса!

Задача, как номер 104. На сторонах угла KMN отложены отрезки по 9 сантиметров.

А отрезки MP и MQ — по 4 сантиметра. Докажем, что углы KPQ и NQP равны.

Написать «рисунок симметричный, так видно» — нельзя.

Мимо! Нужны два хода: равные треугольники и смежные углы.

Шаг первый: стороны по 4 и по 9 сантиметров, а угол M — общий между ними.

Треугольники равны по первому признаку — значит, равны и внутренние углы при P и Q.

Шаг второй: внешние углы — смежные с ними. Из ста восьмидесяти вычитаем равные — получаем равные!

Твоя очередь: внутренний угол при P — 70 градусов. Чему равен смежный угол KPQ?

Поставь на паузу.

Ответ — 110 градусов!